Matemáticas IV
RELACIÓN:
Se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.
FUNCION:
Una función es la regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.
DOMINIO:
El dominio de una función son todos aquellos valores de X que, si los colocamos dentro de la función, la función seguirá siendo válida y definitiva.
CONTRADOMINIO:
Conjunto de valores posibles de la variable y, conjunto de llegada, Por lo tanto, si consideramos un conjunto A y un conjunto B, una función es el vínculo que se genera cuando a cada elemento de A (el dominio) le es asignado un único elemento del B (el contradominio).
RANGO:
Valores del contradominio que son imágenes de x.
IMAGEN:
Se define como el conjunto de valores f(x) que toma la variable independiente (x).
Función Lineal
Es un tipo de función matemática que tiene la forma general:
f(x) = mx+b
dónde m y b son constantes. Esta función se representa gráficamente como una línea recta en el plano cartesiano.
La función lineal tiene algunas características importantes:
Pendiente m:
La pendiente de la línea indica la inclinación o la tasa de cambio de la función. Si la pendiente es positiva, la línea sube de izquierda a derecha; si es negativa, la línea baja. La pendiente se calcula como el cociente entre el cambio en y el cambio en x es decir:
m= Δx/Δy
Ordenada al origen b:
Es el punto donde la línea corta al eje y cuando x=0, representa el valor de y cuando x es 0
Intersección con los ejes:
La línea corta al eje x en el punto:
(x,0)
y al eje y en el punto:
(0,b)
Invariancia bajo traslación:
La función lineal es invariante bajo traslación paralela al eje x o y. Esto significa que si se desplaza la línea horizontal o verticalmente, su forma y pendiente no cambian
Relación con las rectas:
Las funciones lineales son un caso especial de las ecuaciones de la forma:
y=mx+b
que representan rectas en el plano cartesiano
Ejemplo:
f(x)=3x+2
En esta función, la pendiente es:
m=3
y la ordenada al origen es:
b=2
La línea pasa por el punto (0,2) en el eje y tiene una inclinación positiva
En el post de esta semana vamos a aprender a calcular raíces cuadradas exactas y algunos ejemplos visuales donde se aplican, pues, como sabes, la visualización gráfica es siempre de gran ayuda para comprender y asimilar conceptos nuevos. Espero que te resulten muy útiles y disfrutes aprendiendo, ¡verás que sencillo es esto de las raíces cuadradas!
Para calcular la raíz cuadrada de un número, hay que encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos da ese primer número. Si conocemos ya las potencias de grado 2 (calcular el cuadrado de un número), se trata de encontrar el número que elevado al cuadrado nos da el primer número.
Para representar la raíz cuadrada, el símbolo que utilizamos se dibuja así:
Veamos ahora algunos ejemplos de cómo calcular raíces cuadradas exactas, que son las raíces que nos dan como resultado un número exacto (sin decimales).
Raíces cuadradas exactas
Para calcular la raíz cuadrada de 9, hay que encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos da 9. Pensemos un poco que seguro que lo conocemos. ¿Lo tienes ya? ¡exacto! Como seguramente adivinaste, ese número es el 3. Así que la raizraíz cuadrada de 9 es 3.
Si ya conocemos las potencias, podemos buscar el número que elevado al cuadrado nos da 9, y como 3 al cuadrado es 9, ese número que buscamos es el 3.
¿Has visto qué fácil? Puedes intentar ahora tú calcular la raíz cuadrada de 16. ¿La encontraste ya? Eso es, como 4 al cuadrado es 16, la raíz cuadrada de 16 será 4.
Veamos ahora algunos ejemplos visuales para entender mejor el concepto de raíz cuadrada.
FUNCIÓN INYECTIVA
Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Formalmente:
Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Domf, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales.
A la izquierda, una función que asocia a cada persona su altura. A cada elemento del recorrido llega una sola flecha, por lo que la función es inyectiva. A la derecha, la función también asocia a cada persona su altura. En este caso el dominio es ligeramente distinto, y cuenta con una persona más que, curiosamente, tiene la misma altura que el oficinista despreocupado de su peso (1.80m). Como a ese elemento del recorrido llegan dos flechas, la función ya no es inyectiva.
Por tanto, si te piden una demostración de que una función no es inyectiva, puedes hallar dos valores distintos del dominio cuyas imágenes sean iguales. Si las encuentras, la función no es inyectiva.
Inyectiva vs no inyectiva:
En el caso de funciones reales, para saber si son inyectivas:
Cuando están dadas mediante una ecuación, podemos utilizar la propia definición. Así, la función f(x)=2·x+1 es inyectiva, pues:
Por otro lado, la función f(x)=x2 no es inyectiva pues:
Cuando están dadas gráficamente se trata de buscar dos imágenes iguales en la misma. Observa la siguiente ilustración y lo entenderás más claramente:
A la izquierda, una función real inyectiva, frente a una que no lo es, a la derecha. La prueba para determinar si una función real es inyectiva, a partir de su gráfica, consiste en buscar una recta horizontal que pueda cortar a la gráfica en más de un punto. Si la encuentras, como en el caso de la gráfica derecha, la función no es inyectiva. Si no existe ninguna recta así, como en el caso de la izquierda, la función es inyectiva. En cada gráfica se han utilizado dos rectas de prueba.
FUNCIÓN SOBREYECTIVA
Funciones sobreyectivas
Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente:
Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe otro elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.
Las funciones reales son sobreyectivas cuando Recf=ℝ, ya que, por definición, en ellas Codf=ℝ.
Sobreyectiva vs no sobreyectiva
A la izquierda, una función sobreyectiva. Como tal, el codominio y el recorrido coinciden. O, dicho de manera más gráfica, todos los elementos del codominio reciben flechas. A la derecha, una función no sobreyectiva. En este caso hay elementos del codominio que no están incluidos en el recorrido. Observa, además, que ambas funciones son no inyectivas, pues ambas cuentan con elementos en el recorrido que reciben más de una flecha.
Por tanto, si te piden una demostración de que una función real es sobreyectiva, puedes hallar la imagen de dicha función. Si la imagen es el conjunto de los reales, la función es sobreyectiva. En caso contrario, no.
EJEMPLOS:
FUNCIÓN INVERSA
Función inversa
Una función inversa o también llamada recíproca es aquella que cumple que el dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido es igual al dominio de la misma función.
Entonces, en lenguaje algebraico si tenemos una función;
La Función inversa será;
No todas las funciones tienen una función inversa, ya que si un elemento del codominio no es imagen de un elemento del dominio, cuando se aplique su función inversa, esta no será función. Por lo tanto, para que una la función inversa exista, la función original tiene que ser biyectiva, lo que obliga que a todos los elementos de B llegue solo una flecha desde A (inyectiva y sobreyectiva a la vez), así, cuando la función inversa actúe a cada elemento de B se le asigna uno y solo uno de los elementos de A.
Ejemplo:
a) Para una función g: A à B definida por el siguiente diagrama sagital;
Si f es una función que tiene por dominio al conjunto A y por rango al conjunto B , entonces se llama la función inversa de f , aquella que tiene por dominio el conjunto B y por rango al conjunto A. A la función inversa de f se le denota por Esquemáticamente esto es:
Dada una función , su inversa es otra función, designada por de forma que se verifica que si , entonces
Para encontrar la regla de correspondencia de la función inversa, se debe despejar x de la función original ya que, para la función inversa, esa es la variable dependiente. En otras palabras se efectúa el procedimiento siguiente:
- Se define
- Se intercambia x por y.
- Se manipula algebraicamente para despejar y que es , es decir, la inversa de la función dada.
Función creciente
A medida que aumenta el valor de x, aumenta el valor de y. La definición es la siguiente: una función es creciente en un intervalo si se cumple que:
Función decreciente
A medida que aumenta el valor de x, disminuye el valor de y. La definición es la siguiente: una función es decreciente en un intervalo si se cumple que:
¿Qué es el discriminante?
El es la parte de la fórmula cuadrática bajo la raíz cuadrada.
x=\dfrac{-{b}\pm\sqrt{\goldD{b^2-4ac}}}{2a}
El discriminante puede ser positivo, cero o negativo y esto determina cuántas soluciones (o raíces) existen para la ecuación cuadrática dada.
Un discriminante positivo indica que la cuadrática tiene dos soluciones reales distintas.
Un discriminante de cero indica que la cuadrática tiene una solución real repetida.
Un discriminante negativo indica que ninguna de las soluciones son números reales.
Regla de correspondencia
Describe la relación entre dos conjuntos de datos, especialmente en el contexto de funciones. En términos simples, la regla de correspondencia define cómo cada elemento en un conjunto llamado (dominio) se relaciona con un elemento en otro conjunto llamado (contradominio).
Por ejemplo, si tenemos una función f
f que relaciona los números naturales (dominio) con sus cuadrados (contradominio), la regla de correspondencia podría ser expresada como
f(x)=x² dónde x es un número natural.
Esto significa que cada número natural en el dominio se relaciona con su cuadrado en el codominio.
Función Cuadrática
Una función cuadrática es una función matemática de la forma
f(x)= ax² + bx + c = 0
Esta función tiene como gráfica una parábola y su forma general es conocida como la forma estándar de una función cuadrática.
El coeficiente a determina la concavidad de la parábola:
Si, a > 0, la parábola abre hacia arriba
Si, a < 0, la parábola abre hacia abajo.
El término bx representa el desplazamiento horizontal de la parábola.
El término c es la ordenada al origen, es decir, el punto donde la parábola corta al eje y.
Algunas de las propiedades y características importantes de una función cuadrática son:
Vértice: La coordenada (h,k) del vértice de la parábola se calcula mediante la fórmula:
h= -b/2a y k= f(h)
Eje de simetría: El eje de simetría de la parábola es una recta vertical dada por la ecuación
x= -b/ 2a
Intersecciones con los ejes: La parábola corta al eje x en uno o dos puntos, dependiendo de su posición en el plano, y corta al eje y en el punto:
(0,c)
Dirección de apertura:
Si a>0, la parábola abre hacia arriba,
y si a<0, la parábola abre hacia abajo.
Raíces o ceros: Las raíces de la función cuadrática son los puntos en los que la parábola corta al eje x, y se calculan utilizando la fórmula cuadrática :
x= −b± √b2 −4ac/2a
Ejemplo:
f(x)= 2x²−3x+1
En esta función, los coeficientes son:
a = 2
b = −3
c = 1
Vértice:
Para encontrar las coordenadas del vértice, utilizamos las fórmulas:
h= - b/2a = - -3/2(2) = ¾
k= f(¾) = 2(¾) - 3(¾) + 1 = ¹¹/⁸
Entonces, el vértice de la parábola es:
(¾,¹¹/⁸)
Eje de simetría:
El eje de simetría está dado por la ecuación:
x= ¾
Intersecciones con los ejes:
Intersección con el eje x (raíces): Usando la fórmula cuadrática, podemos encontrar las raíces:
x= -b±√b²-4ac/2a
x= 3±√(-3)²-4(2)(1)/2(2)
x= 3±√1/4
Las raíces son:
x= ½ y x=1
Intersección con el eje y:
El punto de intersección con el eje y es (0,1)
Dirección de apertura:
Como
a=2 es positivo, la parábola abre hacia arriba
Ejemplo de función cuadrática.
Vértice
Aplicamos la fórmula del vértice
Así, el vértice es
2 Puntos de corte con el eje
Igualamos la función a cero y calculamos sus soluciones
Obtenemos las soluciones
Así, las intersecciones con el eje son y
3 Punto de corte con el eje
Así, las intersección con el eje es
4 Con los datos anteriores, la representación gráfica es
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA (en la vida cotidiana).
- Empresas y Industrias
- Escuela.
- Vida cotidiana.
- Ecuación cuadrática estándar: ax^2 + bx + c = 0, se utiliza para resolver problemas en los que se conocen los valores de a, b y c.
- Ecuación cuadrática en forma de vértice: a(x – h)^2 + k = 0, encontrar el vértice de una parábola y para resolver problemas en los que se conocen los valores de a, h y k.
- Ecuación cuadrática en forma de factorización: (x – r1)(x – r2) = 0, encontrar las raíces de una ecuación cuadrática y para resolver problemas en los que se conocen los valores de r1 y r2.
- Ecuación cuadrática en forma de discriminante: x = (-b ± √b^2 – 4ac) / 2a, encontrar las raíces de una ecuación cuadrática y para resolver problemas en los que se conocen los valores de a, b y c.
- Ecuación cuadrática en forma de completar el cuadrado: (x + p)^2 = q, encontrar el vértice de una parábola y para resolver problemas en los que se conocen los valores de p y q.
DIVISIÓN SINTÉTICA
CÓMO SE REALIZA LA DIVISIÓN SINTÉTICA.
- Se colocarán los coeficientes de la ecuación en orden. Se dividirá entre una posible raíz.
- Se multiplica el dividendo por el primer divisor y el resultado se pondrá bajo el segundo divisor y se sumará el 2do divisor al resultado de la multiplicación.
- Se repetirá lo mismo, pero bajando el siguiente dividendo y repitiendo el mismo proceso ahora con él la suma anterior hasta terminar la división y verificar si ese divisor es raíz
Comentarios
Publicar un comentario